Question

已知函數(shù)f（x）=x³+mx，g（x）=nx²+n²，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）在x=l處有極值為10，求曲線(xiàn)F（x）在（0，F(xiàn)（0））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅲ）若n²＜3m，不等式對(duì)?x∈（1，+∞）恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求f′（x），解含參數(shù)m的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）由函數(shù)F（x）在x=l處有極值為10，可得F′（1）=0，F(xiàn)（1）=10，由此可求出F（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程可求切線(xiàn)方程；
（Ⅲ）由n²＜3m，可得F（x）為增函數(shù)，從而不等式可轉(zhuǎn)化為，分離出參數(shù)k，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題即可解決．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+mx，∴f′（x）=3x²+m．
①當(dāng)m≥0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)m＜0時(shí)，若f′（x）＜0，則．若f′（x）＞0，則x＜，或x＞，
所以f（x）在（-，）上是減函數(shù)，在（-∞，-），（，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）∵F（x）=x³+mx+nx²+n²，在x=1處有極值10，
∴F′（x）=3x²+2nx+m．
∴，∴，
∴m=-11，n=4．或m=3，n=-3．
當(dāng)m=3，n=-3時(shí)，F(xiàn)′（x）=3（x-1）²≥0，函數(shù)F（x）在R上是增函數(shù)，所以F（x）在x=1處無(wú)極值，不合題意．
當(dāng)m=-11，n=4時(shí)，F(xiàn)′（x）=3x²+8x-11=（3x+11）（x-1），
當(dāng)-＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．
∴函數(shù)F（x）在x=1處取得極小值，符合題意．
∴m=-11，n=4．∴切線(xiàn)方程為11x+y-16=0．
（Ⅲ）∵F（x）=x³+mx+nx²+n²，
∴F′（x）=3x²+2nx+m．
∵n²＜3m，△=4（n²-3m）＜0，∴F′（x）＞0，
∴F（x）=x³+mx+nx²+n²在R上是增函數(shù)．
∵F（）＞F（）對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，∴對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立．
設(shè)函數(shù)h（x）=，則h′（x）=．
設(shè)m（x）=x-lnx-2，則m′（x）=1-．
∵x∈（1，+∞），m′（x）＞0，則m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上是增函數(shù)，
因?yàn)閙（1）=-1，m（2）=-ln2，m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，所以?x∈（3，4），使m（x）=x-lnx-2=0
所以x∈（1，x）時(shí)，m（x）＜0，h′（x）＜0，所以h（x）=在（1，+∞）上遞減，
x∈（x，+∞）時(shí)，m（x）＞0，h′（x）＞0，所以h（x）=在（x，+∞）上遞增，
所以h（x）的最小值為h（x）=，
又因?yàn)閙（x）=x-lnx-2=0，所以h（x）=x，
因?yàn)閤∈（3，4），且k＜h（x）對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，所以k＜h（x）_min，
所以k≤3，整數(shù)k的最大值為3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，有一定難度，特別是恒成立問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，進(jìn)而可用導(dǎo)數(shù)解決．