Question

（本小題15分）
設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，并且滿足，（n∈N*）.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想{}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
（Ⅲ）設(shè)，，且，證明：≤.

Answer 1

解：（Ⅰ）分別令，2，3，得

∵，∴，，.
（Ⅱ）證法一：猜想：，由           ①
可知，當(dāng)≥2時(shí)，  ②
①-②，得 ，即.
1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴；
2）假設(shè)當(dāng)（≥2）時(shí)，.
那么當(dāng)時(shí)，

，
∵，≥2，∴，
∴.
這就是說，當(dāng)時(shí)也成立，
       ∴（≥2）. 顯然時(shí)，也適合.
故對于n∈N*，均有
（Ⅲ）要證≤，
只要證≤，
即≤，
將代入，得≤，.m
即要證≤，即≤1.
∵，，且，∴≤,
即≤，故≤1成立，所以原不等式成立.

略