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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點為F1，F2，離心率為
2
2
，以線段F1 F2為直徑的圓的面積為π．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過橢圓的右焦點F2（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m，0），試求m的取值范圍．
（1）由離心率為
2
2
得：
c
a
=
2
2
①
又由線段F1 F2為直徑的圓的面積為π得：πc2=π，c2=1       ②…（2分）
由①，②解得a=
2
，c=1，∴b2=1，∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1…（5分）
（2）由題意，F2（1，0），設l的方程為：y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程為
x2
2
+y2=1
整理得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
設A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為（x0，y0），則
x0=
x1+x2
2
=
2k2
2k2+1
，y0=k(x0-1)= -
k
2k2+1

∴線段AB的垂直平分線方程為y-y0=-
1
k
(x-x0)
令y=0，得m=x0+ky0=
k2
2k2+1
=
1
2+
1
k2

由于
1
k2
＞0即2+
1
k2
＞2，
∴0＜m＜
1
2
．…（13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內心的橫坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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