Question

已知點集L={(x，y)|y=

m

•

n

}，其中

m

=(2x-b，1)，

n

=(1，1+b)，又知點列P_n（a_n，b_n）∈L，P₁為L與y軸的交點．等差數(shù)列{a_n}的公差為1，n∈N^*．
（Ⅰ）求P_n（a_n，b_n）；
（Ⅱ）若f(n)=

an，n=2k-1 bn，n=2k

k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）對于數(shù)列{b_n}，設(shè)S_n是其前n項和，是否存在一個與n無關(guān)的常數(shù)M，使

Sn

S2n

=M，若存在，求出此常數(shù)M，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)有L={（x，y）|y=2x+1}，可得直線y=2x+1，它與y軸的交點為（0，1）可求a₁=0，又數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列可求a_n=n-1，b_n=2n-1，從而可求 
（II）由f(n)=

an bn

 =

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

(k∈N*)，從而分k為奇數(shù)時，k為偶數(shù)代入求解
（III）由b_n=2n-1可求S_n=n²，代入

Sn

S2n

=M求解即可

解答：解：（I）由題設(shè)有L={（x，y）|y=2x+1}，故L為直線y=2x+1，它與y軸的交點為P₁（0，1）（2分） 
∴a₁=0，又數(shù)列{a_n}是以1為公差的等差數(shù)列，所以a_n=n-1，b_n=2a_n+1=2（n-1）+1=2n-1
故P_n（n-1，2n-1）（5分） 
（II）f(n)=

an bn

 =

n-1，n=2k-1 2n-1，n=2k

(k∈N*)（5分） 
當k為奇數(shù)時，f（k+11）=2f（k）⇒2（k+11）-1=2（k-1）⇒k不存在；
當k為偶數(shù)時，f（k+11）=2f（k）⇒（k+11）-1=2（2k-1）⇒k=4．  （10分） 
（III）∵b_n=2n-1，∴S_n=n²，假設(shè)存在與n無關(guān)的常數(shù)M，使

Sn

S2n

=M
即

n2

(2n)2

=M⇒M=

1

4

，故存在與n無關(guān)的常數(shù)M=

1

4

，使

Sn

S2n

=M． （14分）

點評：本題以新定義為切入點考查了向量 的數(shù)量積的坐標表示，等差數(shù)列的通項公式及求和公式的應(yīng)用