定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(3)>0,且對(duì)任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0)的值,并指出函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性;
(2)求證:函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
(3)若f(k•3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意的x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的范圍.
解:(1)令x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0…
又f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)
且 f(3)>0=f(0)…
所以f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)…
(2)由已知,函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),
令y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)…
由于f(0)=0,得f(-x)=-f(x)
所以,函數(shù)f(x)為奇函數(shù)…
(3)由f(k•3
x)+f(3
x-9
x-2)<0,f(k•3
x)<-f(3
x-9
x-2),f(k•3
x)<f(-3
x+9
x+2),…
因?yàn)閒(x)為R上的單調(diào)增函數(shù),…
所以k•3
x<-3
x+9
x+2,k<-1+3
x+
…
因上式對(duì)于?x∈R恒成立,
只需k小于-1+3
x+
的最小值,
由于3
x+
≥2
,…
所以-1+3
x+
≥2
-1,
所以,k<2
-1…
故,實(shí)數(shù)k的取值范圍為
…
分析:(1)令x=y=0可求得f(0)=0,由f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)且f(3)>0=f(0)即可判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性;
(2)由(1)知f(0)=0,再令y=-x,可求得f(x)+f(-x)=0,從而可判斷函數(shù)f(x)為奇函數(shù),問(wèn)題得證;
(3)依題意,可求得f(k•3
x)<f(-3
x+9
x+2),再結(jié)合f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù),可求得k•3
x<-3
x+9
x+2?k<-1+3
x+
恒成立,求得-1+3
x+
的最小值即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查賦值法,突出考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,屬于中檔題.