Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA＝AB＝4，

 

G為PD中點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，平面PEC⊥平面PDC.

（Ⅰ）求證：AG⊥平面PCD；

（Ⅱ）求證：AG∥平面PEC；

（Ⅲ）求點(diǎn)G到平面PEC的距離.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅱ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅲ）G點(diǎn)到平面PEC的距離為. 

【解析】本試題主要考查了線面的位置關(guān)系的運(yùn)用，點(diǎn)到面的距離的求解。

線面平行的判定和線面垂直的判定的綜合運(yùn)用。

（1）由于CD⊥AD，CD⊥PA     ∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG又PD⊥AG，從而由判定定理得到結(jié)論。

（2）作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，故EF∥AG可知線面平行。

（3）由AG∥平面PEC知A、G兩點(diǎn)到平面PEC的距離相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四點(diǎn)共面，又AE∥CD 

 ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四邊形AEFG為平行四邊形，∴ AE＝GF，然后利用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)得到體積的求解。

解（Ⅰ）

，

證明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    

∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG

又PD⊥AG     

∴AG⊥平面PCD           …………4分

（Ⅱ）證明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD 

∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，

∴AG∥平面PEC     ………………7分

（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G兩點(diǎn)到平面PEC的距離相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四點(diǎn)共面，又AE∥CD 

 ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四邊形AEFG為平行四邊形，∴ AE＝GF      ……………8分

∥ ＝

PA＝AB＝4， G為PD中點(diǎn)，FG    CD

∴ FG＝2        ∴ AE＝FG＝2                    ………………………9分

∴                 ………………………10分

又EF⊥PC，EF＝AG

∴         ………………………11分

又 ，∴，即，∴

∴ G點(diǎn)到平面PEC的距離為.               ………………………12分網(wǎng)