Question

【題目】已知拋物線(xiàn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于S，T，且.

（1）求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)P是x軸下方（不含x軸）一點(diǎn)，拋物線(xiàn)C上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足，其中為常數(shù)，且兩點(diǎn)D，E均在C上，弦AB的中點(diǎn)為M.

①若點(diǎn)P坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，B的切線(xiàn)的交點(diǎn)為N，證明：點(diǎn)N在直線(xiàn)MP上；

②若直線(xiàn)PM交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，求證；為定值（定值用表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析②證明見(jiàn)解析，定值為

【解析】

（1）設(shè)直線(xiàn)：,聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)可得,則由韋達(dá)定理得,,代入中即可求得,進(jìn)而得到拋物線(xiàn)方程；

（2）設(shè),則,,①由可得,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)中可得,則,進(jìn)而得到,是方程的兩根,從而求得點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)方程,聯(lián)立即可求得交點(diǎn),因而得證；

②由,得,代回拋物線(xiàn)方程, 同理①整理后可得,為方程的兩根,求得點(diǎn)的坐標(biāo),則,將點(diǎn)坐標(biāo)代入求證即可

（1）由題,顯然直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)：,,

聯(lián)立得,,

由韋達(dá)定理得,,

,

,

即

,

則拋物線(xiàn)方程為

（2）設(shè),則,,

①由,,得,

點(diǎn)D在拋物線(xiàn)C上,

故,

即,則,

由,所以,即,

同理可得,

即,是方程的兩根,

解得或,

不妨,,則中點(diǎn),直線(xiàn)

由,所以,

得兩切線(xiàn),

所以,解得,則,

所以N在直線(xiàn)PM上

②設(shè),,

由,得,

代D入拋物線(xiàn)C,

則,

即,

化簡(jiǎn)得：,

同理將E代入拋物線(xiàn)C得：,

即,為方程的兩根,

由韋達(dá)定理得,,,

所以,,

顯然,

所以設(shè),

所以,,

故,為定值