Question

19．已知點F（-1，0）是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（{a＞0}）$的一個焦點，點M為橢圓C上任意一點，點N（3，2），則|MN|+|MF|取最大值時，直線MN的斜率為1．

Answer 1

分析 如圖所示，設橢圓的右焦點為F′．由題意可得：c=1，b=1，a²=b²+c²．由橢圓的定義可得：|MF|+|MF′|=2a，
再利用三點N，M，F(xiàn)′共線時取最值，即可得出．

解答 解：如圖所示，設橢圓的右焦點為F′．
由題意可得：c=1，b=1，∴a²=b²+c²=2．
由橢圓的定義可得：|MF|+|MF′|=2a，
∴則|MN|+|MF|=|MN|+2a-|MF′|≤|MF′|+2a．
當且僅當三點N，M，F(xiàn)′共線時取等號．
∴${k}_{N{F}^{′}}$=$\frac{2-0}{3-1}$=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質，考查了數形結合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．