Question

19．定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+y）=f（x）+f（y），f（xy）=f（x）f（y），且x≠y時(shí)，f（x）≠f（y）．
（1）判斷f（x）奇偶性；
（2）求證：f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，可得f（0）的值；令y=-x，可得f（x）與f（-x）的關(guān)系，知f（x）的奇偶性．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可得函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是定義域R上的奇函數(shù)，證明如下：
∵對(duì)任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定義域R上的奇函數(shù)．
（2）令x=y=1，則f（1）=f²（1），
則f（1）=0或f（1）=1，
∵且x≠y時(shí)，f（x）≠f（y）．f（0）=0，
∴f（1）=0不成立，（舍），
則f（1）=1，
則當(dāng)x=1，y=1時(shí)，f（1+1）=f（1）+f（1）=f（2），
即f（2）=2，
令y=x，由②得f（x²）=f（x）f（x）=f²（x）≥0，
即當(dāng)x²＞0時(shí)，f（x²）＞0，
令y=x₂，x=-x₁，任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
則f（x）+f（y）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)奇偶性的判定，主要利用賦值法來(lái)解題．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．