（2008•上海一模）如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，且已知VP-ABCD=
163
．
（1）求球O的表面積；
（2）設M為BC中點，求異面直線AM與PC所成角的大�。�
分析：（1）由題意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．
（2）以OP，OA，OB為x，y，z軸建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，進一步求出
AM
，
PC
的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出
AM
，
PC
的夾角余弦，得到異面直線AM與PC所成角的大�。�
解答：解：（1）解：如圖，正四棱錐P-ABCD底面的四個頂點A，B，C，D在球O的同一個大圓上，點P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，SABCD=2R2，VP-ABCD=
16
3
，
所以
1
3
•2R2•R=
16
3
，R=2，
球O的表面積是16π         
（2）以OP，OA，OB為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則
P（0，0，2），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），M（-1，1，0），
AM
=(-3，1，0)，
PC
=(-2，0，-2)，
所以cos＜
AM
，
PC
＞=
6
10
8
=
3
5
10

所以異面直線AM與PC所成角的余弦值為
3
5
10
．
所以異面直線AM與PC所成角的大小為arccos
3
5
10
．
點評：本題考查球的內接體問題，球的表面積、體積，考查學生空間想象能力，通過建立空間直角坐標系，將異面直線所成的角通過向量的數(shù)量積來解決．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海一模）觀察數(shù)列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整數(shù)依次被4除所得余數(shù)構成的數(shù)列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③an=tan
nπ
3
，n=1，2，3，…
（1）對以上這些數(shù)列所共有的周期特征，請你類比周期函數(shù)的定義，為這類數(shù)列下一個周期數(shù)列的定義：對于數(shù)列{an}，如果
存在正整數(shù)T
存在正整數(shù)T
，對于一切正整數(shù)n都滿足
an+T=an
an+T=an
成立，則稱數(shù)列{an}是以T為周期的周期數(shù)列；
（2）若數(shù)列{an}滿足an+2=an+1-an，n∈N*，Sn為{an}的前n項和，且S2=2008，S3=2010，證明{an}為周期數(shù)列，并求S2008；
（3）若數(shù)列{an}的首項a1=p，p∈[0，
1
2
），且an+1=2an（1-an），n∈N*，判斷數(shù)列{an}是否為周期數(shù)列，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海一模）用1，2，3，4，5，6六個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶不同，這樣的六位數(shù)共有
72
72
個（用數(shù)字作答）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海一模）規(guī)定矩陣A3=A•A•A，若矩陣
1x
01
3=
11
01
，則x的值是
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海一模）已知{an}為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5=
6
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•上海一模）若函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），且函數(shù)y=tan
πx
6
-f(x)的圖象過點(2，
3
-3)，則函數(shù)y=f-1（x）的圖象一定過點
（3，2）
（3，2）
．

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