Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（a）+2且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程

1

2

f(x)=4lnx-k在[1，e]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先表示出F（x）的表達(dá)式，再根據(jù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0，我們可以求出b的值，進(jìn)而可確定函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）將（Ⅰ）中求出的函數(shù)f（x）的解析式代入函數(shù)g（x）然后求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，再利用分離參數(shù)法，我們就可以求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)h(x)=4lnx-

1

2

f(x)-k=4lnx-

1

2

x2+1-k，可以得出h（x）在[1，2）上單調(diào)遞增，在[2，e]上單調(diào)遞減，為了使方程

1

2

f(x)=lnx-k在[1，e]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，只須h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一個(gè)實(shí)根，可求k的范圍

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2
∴F（x）=x²+bsinx
依題意，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x）-F（-x）=0
即x²-bsinx=x²+bsinx，
即2bsinx=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都成立，
∴b=0
∴f（x）=x²-2．…（4分）
（Ⅱ）∵函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx，
∴g（x）=x²+2x+alnx，得g′(x)=2x+2+

a

x

 (x＞0)
∵函數(shù)g（x）在（0，1）上上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間（0，1）上，g′（x）≤0在（0，1）上恒成立．…（7分）
即2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立．
∴a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立．
而u（x）=-（2x²+2x）在（0，1）上單調(diào)遞減
∴a≤-4．…（9分）
（Ⅲ）令h(x)=4lnx-

1

2

f(x)-k=4lnx-

1

2

x2+1-k，
∴h′(x)=

4

x

-x
令h′(x)=

4

x

-x=0，解得x=±2
∵x＞0，∴x=2
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）＜0；
即h（x）在[1，2）上單調(diào)遞增，在[2，e]上單調(diào)遞減…（11分）
為了使方程

1

2

f(x)=lnx-k在[1，e]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，只須h（x）=0在[1，2）和（2，e]上各有一個(gè)實(shí)根，
于是有

h(1)≤0 h(2)＞0 h(e)≤0

，即

k≥ 1 2 k＜4ln2-1 k≥5- 1 2 e2

解得 5-

1

2

e2≤k＜4ln2-1
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[5-

1

2

e2，4ln2-1)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，，函數(shù)的恒成立問題的求解常利用分離參數(shù)法解決，而函數(shù)的構(gòu)造是求解本題的關(guān)鍵．