Question

長方形ABCD，AB=2，BC=1，將△ADC沿AC翻折，當二面角D-AC-B在（0，π）變化時，四面體ABCD的表面積的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：二面角D-AC-B在（0，π）變化時，BD∈（

3 5

5

，

5

），由海倫公式可得：四面體ABCD的表面積：S=2+2×

BD+3 2 × BD-1 2 × BD+1 2 × 3-BD 2

，分析出函數(shù)S的單調性，進而可得S的取值范圍．

解答： 解：∵二面角D-AC-B在（0，π）變化時，
BD∈（

3 5

5

，

5

），
由海倫公式可得：四面體ABCD的表面積：
S=2+2×

BD+3 2 × BD-1 2 × BD+1 2 × 3-BD 2

=4+

(9-BD2)(BD2-1) 4

，
令a=BD²，則a∈（

9

5

，5），
S=2+

(9-a)(a-1) 4

=2+

- 1 4 a2+ 5 2 a- 9 4

，
由S=2+

- 1 4 a2+ 5 2 a- 9 4

在（

9

5

，5）為增函數(shù)，
故S∈（

16

5

，4）
故答案為：（

16

5

，4）

點評：本題考查的知識點是棱錐的側面積，函數(shù)的值域，其中求出S的表達式，將問題轉化為函數(shù)的最值問題，是解答的關鍵．