Question

長(zhǎng)方形ABCD，AB=2，BC=1，將△ADC沿AC翻折，當(dāng)二面角D-AC-B在（0，π）變化時(shí)，四面體ABCD的表面積的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：二面角D-AC-B在（0，π）變化時(shí)，BD∈（

3 5

5

，

5

），由海倫公式可得：四面體ABCD的表面積：S=2+2×

BD+3 2 × BD-1 2 × BD+1 2 × 3-BD 2

，分析出函數(shù)S的單調(diào)性，進(jìn)而可得S的取值范圍．

解答： 解：∵二面角D-AC-B在（0，π）變化時(shí)，
BD∈（

3 5

5

，

5

），
由海倫公式可得：四面體ABCD的表面積：
S=2+2×

BD+3 2 × BD-1 2 × BD+1 2 × 3-BD 2

=4+

(9-BD2)(BD2-1) 4

，
令a=BD²，則a∈（

9

5

，5），
S=2+

(9-a)(a-1) 4

=2+

- 1 4 a2+ 5 2 a- 9 4

，
由S=2+

- 1 4 a2+ 5 2 a- 9 4

在（

9

5

，5）為增函數(shù)，
故S∈（

16

5

，4）
故答案為：（

16

5

，4）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的側(cè)面積，函數(shù)的值域，其中求出S的表達(dá)式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．