Question

10．拋物線有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線y²=2px（p＞0），一光源在點(diǎn)M（$\frac{41}{4}$，4）處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后，又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x-4y-17=0上的點(diǎn)N，再反射后又射回點(diǎn)M，設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），
（Ⅰ）證明：y₁y₂=-p²；
（Ⅱ）求拋物線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)PQ：x=my+$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程得：y²=2mpy+p²，從而證出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′（m，n），求出m，n的值，根據(jù)P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，得到K_QF=K_FP，求出p的值，從而求出拋物線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知：
光線PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），…（2分）
設(shè)PQ：x=my+$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程得：y²=2mpy+p²，…（4分）
∴y₁y₂=-p²；…（6分）
（Ⅱ）由題意知P（$\frac{8}{p}$，4），F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M′（m，n），則有：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-4}{m-\frac{41}{4}}=-2}\\{2•\frac{m+\frac{41}{4}}{2}-4•\frac{n+4}{2}-17=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{51}{4}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，…（8分）
由M′，N，Q共線且平行于x軸得Q（$\frac{1}{2p}$，-1），…（9分）
又P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，K_QF=K_FP，
即$\frac{1}{\frac{p}{2}-\frac{1}{2p}}$=$\frac{4}{\frac{8}{p}-\frac{p}{2}}$，解得：p=2，
故拋物線方程為：y²=4x．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì)，考查對(duì)稱性以及直線的斜率問(wèn)題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．