Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}m{x^2}-8ax+n，x＜1\\ log_a^x\begin{array}{l}{\begin{array}{l}，{x≥1}\end{array}}\end{array}\end{array}\right.$，其中m為函數(shù)$g（x）=2x+\sqrt{x-1}$的最小值，n為函數(shù)$h（x）={3^{1-{x^2}}}$的最大值，且對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． （1，2]
• C． $[\frac{5}{8}，1）$
• D． $[\frac{1}{2}，\frac{5}{8}]$

Answer 1

分析 分別根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出m，n的值，再由題意得到f（x）為減函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出a的取值范圍．

解答 解：$g（x）=2x+\sqrt{x-1}$，x≥1，
設(shè)$\sqrt{x-1}$=t，t≥0，
則g（t）=2t²+t+2
∴g（t）[0，+∞）為增函數(shù)，
∴g（t）_min=g（0）=2，
∴m=2，
∵y=1-x²在（-∞，0）為增函數(shù)，在（0，+∞）為減函數(shù)，
y=3^x在R上為增函數(shù)
∴函數(shù)$h（x）={3^{1-{x^2}}}$在（-∞，0）為增函數(shù)，在（0，+∞）為減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（0）=3，
∴n=3，
∵對(duì)任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，
∴f（x）在R上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=log_ax為減函數(shù)，
∴0＜a＜1，
∵當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=2x²-8ax+3也為減函數(shù)，
∴$\frac{8a}{2×2}$≥1，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
綜上所述a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)，函數(shù)的最值，參數(shù)耳朵取值范圍，屬于中檔題．