Question

已知橢圓+y²=1的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（ I ） 求三棱錐A-F₁F₂B的體積；
（Ⅱ）圖2中線段BF₂上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，若存在，請在圖1中指出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及三棱錐的體積計算公式即可得出；
（Ⅱ）利用線線垂直的斜率之間的關(guān)系、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由得a²=2，b²=1，∴b=1，．
∴上頂點(diǎn)A（0，1），左焦點(diǎn)F₁（-1，0），右焦點(diǎn)F₂（1，0）．
直線AF₁：y=x+1，聯(lián)立消去y點(diǎn)得到3x²+4x=0，
解得，
∴B．
∴==．
∵平面AF₁F₂⊥平面BF₁F₂，平面AF₁F₂∩平面BF₁F₂=F₁F₂，AO⊥F₁F₂，
∴AO⊥平面BF₁F₂．
∴===．
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，由（Ⅰ）可知AO⊥平面BF₁F₂，∴AO⊥BO．
過點(diǎn)O作OM⊥OB交BF₂于點(diǎn)M，連接AM．
∵k_OB==，∴k_OM=-4，∴直線OM的方程為y=-4x．
直線BF₂的方程為，化為．
聯(lián)立，解得，
∴，可知點(diǎn)M在線段BF₂上，
由以上作法可知：BO⊥平面AOM，∴BO⊥AM，滿足條件．
因此圖2中線段BF₂上存在點(diǎn)M，使得AM⊥OB，圖1中點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
點(diǎn)評：是掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理及三棱錐的體積計算公式、線線垂直的斜率之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．