Question

設函數f（x）的定義域為D．若存在非零實數l使得對于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調函數，如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調函數．求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據題意可知在[-1，+∞）上的任意x（設x=x+m）有y≥-1恒成立，推斷出m≥-1-x恒成立，進而根據x的范圍可推知-1-x最大為0，判斷出m的范圍，進而根據f（x+m）≥f（x），求得（x+m）²≥x²，化簡求得m≥-2x恒成立，進而根據x的范圍確定-2x的范圍，進而求得m的范圍．
解答：解：在[-1，+∞）上的任意x（設x=x+m）有y≥-1恒成立，則x+m≥-1恒成立，即m≥-1-x恒成立．
對于x∈[-1，+∞），當x=-1時-1-x最大為0，所以有m≥0．
又因為f（x+m）≥f（x），即（x+m）²≥x²在x∈[-1，+∝）上恒成立，化簡得m²+2mx≥0，又因為m≥0，所以m+2x≥0即m≥-2x恒成立，當x=-1時-2x最大為2，所以m≥2
綜上可知m≥2．
點評：本題主要考查了抽象函數極其應用．考查了學生分析問題和解決問題的能力．