Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（I）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）討論關(guān)于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，求證：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)f（x）的值域，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正反判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得到最小值；
（2）先由（1）可判斷函數(shù)在不同區(qū)間的不同取值，然后對(duì)m的范圍進(jìn)行分析可確定方程f（x）-m=0（m∈R）的解的個(gè)數(shù)．
（3）先將不等式f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2轉(zhuǎn)化為f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，然后令函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x）并將函數(shù)f（x）的解析式代入后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)g（x）的最小值，并且任意x有g(shù)（x）大于等于g（x）的最小值，得證．
解答：解：（I）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x），f（x）的變化的情況如下：

所以，f（x）在（0，+∞）最小值是．
（Ⅱ）當(dāng)，f（x）單調(diào)遞減且f（x）的取值范圍是；
當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞增且f（x）的取值范圍是
下面討論f（x）-m=0的解；
所以，當(dāng)時(shí)，原方程無解；
當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；
當(dāng)時(shí)，原方程有兩解
（Ⅲ）原不等式可化為：f（a）+f[（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2
設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（k-x）（k＞0）
則g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k）

令g'（x）＞0，則，∴，∴，
解得：，
令g'（x）＜0，解得：0＜x＜
∴函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴g（x）在（0，k）上的最小值為
∴當(dāng)x∈（0，k）時(shí)，總有g(shù)（x），
即：
=
令x=a，k-x=b，則有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高考的熱點(diǎn)題，每年必考，要給予充分重視．