Question

如圖，橢圓=1(a＞b＞c)的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于P點.若點D滿足 (λ≠0).

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)若橢圓的長軸長等于4，Q是橢圓右準線l上異于點A的任意一點，A₁、A₂分別是橢圓的左、右頂點，直線QA₁、QA₂與橢圓的另一個交點分別為M、N，求證：直線MN與x軸交于定點.

Answer 1

解：(Ⅰ)∵橢圓方程為

，(a＞b＞0，c＞0，c²=a²-b²)

∴A(,0)

F(c，0)，B(0，b)，P(c,)，

∵   ∴D為FP的中點

∴D點坐標為(c,)

∵

∴D在線段AB上

∵直線AB的方程為：=1

∴c·=1

化簡得  3a²=4c²

∴e=

(Ⅱ)∵橢圓的長軸長等于4，∴a=2，b=1，c=

設直線QA₁和QA₂斜率分別為k₁，k₂，則由

(1+)x²+16x+16-4=0

解得   x_M= 

由

(1+4)x²-16x+16-4=0

解得   x_N=

直線MN的方程為，令y=0

得x=化簡得  x=2×

∵y_Q=k₁(+2)=k₂(-2)

∴ 

∴

∴x=2

即直線MN與x軸交于定點(,0).