Question

如圖1，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M為側(cè)棱PD上一點(diǎn)．該四棱錐的俯視圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示．
（Ⅰ）證明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）證明：AM∥平面PBC；
（Ⅲ）線(xiàn)段CD上是否存在點(diǎn)N，使AM與BN所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點(diǎn)N，并求CN的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用俯視圖和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥PD，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）取PC上一點(diǎn)Q，使PQ：PC=1：4，連接MQ，BQ．利用左視圖和平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的判定和性質(zhì)即可得出MQ∥CD，．
再利用平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得出AM∥BQ，利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明．
（Ⅲ）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用異面直線(xiàn)的方向向量所成的角的夾角公式即可得出．
解答：（Ⅰ）證明：由俯視圖可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）證明：取PC上一點(diǎn)Q，使PQ：PC=1：4，連接MQ，BQ．
由左視圖知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，．
在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．
又 BD=2，∴AB=1，．
又∵AB∥CD，，
∴AB∥MQ，AB=MQ．
∴四邊形ABQM為平行四邊形，
∴AM∥BQ．
∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，
∴直線(xiàn)AM∥平面PBC．
（Ⅲ）解：線(xiàn)段CD上存在點(diǎn)N，使AM與BN所成角的余弦值為．證明如下：
∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz．
∴．
 設(shè) ，其中N（0，t，0）．
∴，．
要使AM與BN所成角的余弦值為，則有 ，
∴，解得 t=0或2，均適合N（0，t，0）．
故點(diǎn)N位于D點(diǎn)處，此時(shí)CN=4；或CD中點(diǎn)處，此時(shí)CN=2，有AM與BN所成角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握由三視圖得到線(xiàn)面位置關(guān)系和數(shù)據(jù)、線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)定理、線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì)定理、異面直線(xiàn)所成的角、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．