Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+2與x軸的交點(diǎn)是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點(diǎn)是C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)x取何值時(shí)，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠OQA為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程聯(lián)立方程組求解a，b的值，則拋物線的方程可求；
（2）①首先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線BC的方程后把B，C的坐標(biāo)代入求出直線BC的方程，線段PQ的長度用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示，配方后根據(jù)x的取值范圍，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求得最大值；并求出此時(shí)x的取值；
②假設(shè)存在點(diǎn)P，使得∠OQA為直角，由平面幾何知識(shí)、利用角的關(guān)系得到△ODQ∽△QDA，由對應(yīng)邊成比例得到DQ²=OD•DA代入線段長度后得到關(guān)于x的方程，求解方程即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線過A（3，0），B（6，0），
∴

9a+3b+2=0 36a+6b+2=0

，
解得：

a= 1 9 b=-1

，
∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=

1

9

x2-x+2；
（2）①∵當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，
則有

6k+b=0 b=2

，
解得：

k=- 1 3 b=2

，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=-

1

3

x+2，
∵0＜x＜6，
∴PQ=yQ-yP=(-

1

3

x+2)-(

1

9

x2-x+2)=-

1

9

x2+

2

3

x
=-

1

9

(x-3)2+1．
∴當(dāng)x=3時(shí)，線段PQ的長度取得最大值，最大值是1；
②存在這樣的點(diǎn)P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)，使∠OQA為直角．
事實(shí)上，
當(dāng)∠OQA=90°時(shí)，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)D，
∵∠ODQ+∠ADQ=90°，∠QAD+∠AQD=90°，∴∠OQD=∠QAD，
又∵∠ODQ=∠QDA=90°，∴△ODQ∽△QDA，
∴

DQ

OD

=

DA

DQ

，即DQ²=OD•DA．
∴(-

1

3

x+2)2=x(3-x)，整理得：10x²-39x+36=0．
∴x1=

3

2

，x2=

12

5

．
∴y1=

1

9

×(

3

2

)2-

3

2

+2=

3

4

，y2=

1

9

×(

12

5

)2-

3

2

+2=

6

25

．
∴P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．
∴所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(

3

2

，

3

4

)或P(

12

5

，

6

25

)．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的方程及簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與拋物線的關(guān)系，考查了學(xué)生綜合處理問題和解決問題的能力，考查了運(yùn)算能力，解答此題的關(guān)鍵是借助于平面幾何知識(shí)，把形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為量的關(guān)系，是壓軸題．