Question

若f（x）=其中a∈R
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)y（x）在區(qū)間[e，e²]上的最大值；
（2）當(dāng)a＞0，時(shí)，若x∈[1，+∞），恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=-2，x∈[e，e²]時(shí)，f（x）=x²-2lnx+2，求其導(dǎo)數(shù)可判函數(shù)在在[e，e²]上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得其最大值；
（2）分類(lèi)討論可得函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為，分段令其，解之可得a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=-2，x∈[e，e²]時(shí)，f（x）=x²-2lnx+2，（1分）
∵，∴當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f'（x）＞0，（2分）
∴函數(shù)f（x）=x²-2lnx+2在[e，e²]上單調(diào)遞增，（3分）
故+2=e⁴-2（4分）
（2）①當(dāng)x≥e時(shí)，f（x）=x²+alnx-a，，
∵a＞0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，（5分）
故當(dāng)x=e時(shí)，；                            （6分）
②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）=x²-alnx+a，f′（x）=2x-=（x+）（x-），（7分）
（i）當(dāng)≤1，即0＜a≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=1+a，且此時(shí)f（1）＜f（e）=e²；      （8分）
（ii）當(dāng)，即2＜a≤2e²時(shí)，f（x）在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，（9分）
故當(dāng)x=時(shí)，，且此時(shí)f（）＜f（e）=e²；（10分）
（iii）當(dāng)，即a＞2e²時(shí)，f（x）=x²-alnx+a在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，
故當(dāng)x=e時(shí)，．（11分）
綜上所述，函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的最小值為（12分）
由得0＜a≤2；由得無(wú)解；由得無(wú)解；  （13分）
故所求a的取值范圍是（0，2]．                                     （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間的最值，涉及分類(lèi)討論的思想，屬難題．