Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，其中a∈R．已知f（x）在x=3處取得極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在點(diǎn)A（1，16）處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=3處取得極值，得到f′（3）=0，由此求得a的值，則函數(shù)f（x）的解析式可求；
（2）由（1）得到f′（x）=6x²-24x+18，求得f′（1）=0，∴f（x）在點(diǎn)A（1，16）處的切線方程可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
又∵f（x）在x=3處取得極值，
∴f′（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0，解得a=3．
∴f（x）=2x³-12x²+18x+8；
（2）A（1，16）在f（x）上，
由（1）可知f′（x）=6x²-24x+18，
f′（1）=6-24+18=0，
∴切線方程為y=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，解答此題需注意的是，函數(shù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，是中檔題．