Question

函數(shù)f（x）=x²-（1+）x+lnx，a∈R．
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）g（x）=b²x²-3x+ln2，當(dāng)a=2，1＜x≤3時(shí)，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）g（x）＞f（x）恒有解，分類(lèi)參數(shù)可得即b²＞3[]有解，利用換元法和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)k（t）=+t，的最值，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）f′（x）=
=[x²-（a+）x+1]=（x-a）（x-）
由題設(shè)知x＞0，
a-=
當(dāng)a＞1時(shí)，a-＞0即0＜＜a，則f（x）在（0，）和（a，+∞）上單增，在（ ，a）上單減
（2）由（1）知，a=2，1＜x＜3時(shí)，
當(dāng)x=2時(shí)f（x）得到最小值為f（2）=
∴1＜x≤3時(shí)，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+＞在1＜x＜3時(shí)有解
即b²＞3[]有解，
令t=，k（t）=+t，，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t） 在 上單增
∴
∴需b² ，即b 或b
∴b的范圍是（-∞，）∪（ ，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，理解函數(shù)恒成立取到的條件，考查應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．