Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₂=8，a₃+a₄=48．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄a_n，求{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），a₂=8，a₃+a₄=48，兩式相除可求得q=2，從而可求得a₁及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）依題意，可求得a_n•b_n=

n+1

2

•2ⁿ⁺¹，利用錯(cuò)位相減法即可求得{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，依題意q＞0，
∵a₂=8，a₃+a₄=48，兩式相除得：q²+q-6=0，
解得q=2或q=-3（舍去），
∴a₁=

a2

q

=4，
∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=log₄a_n=

n+1

2

，
∴a_n•b_n=

n+1

2

•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=1×2²+

3

2

×2³+2×2⁴+…+

n+1

2

•2ⁿ⁺¹①，
∴2S_n=1×2³+

3

2

×2⁴+2×2⁵+…+

n

2

•2ⁿ⁺¹+

n+1

2

•2ⁿ⁺²②，
①-②得：-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-

n+1

2

•2ⁿ⁺²
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-

n+1

2

•2ⁿ⁺²
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出錯(cuò)位相減法求和的考查，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．