Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，-3），（0，3）直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-

1

2

．
（1）求點(diǎn)M的軌跡L的方程；
（2）若直線L經(jīng)過點(diǎn)P（4，1），與軌跡L有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線L的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線的一般式方程

專題：計(jì)算題

分析：（1）求M點(diǎn)的軌跡方程，所以設(shè)M（x，y），根據(jù)直線AM，BM的斜率之積是-

1

2

，即可求得關(guān)于x，y的等式，即點(diǎn)M的軌跡方程：x²+2y²=18；
（2）若直線L不存在斜率，則容易判斷它和軌跡L有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意；存在斜率時(shí)設(shè)斜率為k，然后根據(jù)直線L經(jīng)過點(diǎn)P可寫出直線L的方程，將直線方程帶入軌跡方程可得到關(guān)于x的方程，讓該方程有一個(gè)解求k即可得到直線L的方程．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則：
kAM•kBM=

y+3

x

•

y-3

x

=

y2-9

x2

=-

1

2

（x≠0）；
∴點(diǎn)M的軌跡方程為：x²+2y²=18（x≠0）；
（2）若直線L不存在斜率，則方程為：x=4；
x=4帶入軌跡方程可得y=±1，即直線L和軌跡L有兩個(gè)公共點(diǎn)，不合題意；
∴設(shè)直線L斜率為k，則方程為：y=kx-4k+1，帶入軌跡方程并整理得：
（1+2k²）x²+4k（1-4k）x+16（2k²-k-1）=0；
∵直線L與軌跡L只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以：
△=16k²（1-4k）²-64（1+2k²）（2k²-k-1）=0；
解得k=-2；
∴直線L的方程為：y=-2x+9．

點(diǎn)評(píng)：考查軌跡與軌跡方程的概念，以及求軌跡方程的方法，斜率公式，直線的點(diǎn)斜式方程，一元二次方程有一個(gè)解時(shí)的判別式的取值如何．