Question

16．函數(shù)f（x）同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；②對于定義域上的任意x₁，x₂．當(dāng)x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0．則稱函數(shù)f（x）為“理想函數(shù)”，則下列四個函數(shù)中：①f（x）=$\frac{1}{2}$；②f（x）=x²；③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）可以稱為“理想函數(shù)”的有2個．

Answer 1

分析 “理想函數(shù)”的兩個條件：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；②對于定義域上的任意x₁，x₂．當(dāng)x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減．對每一個函數(shù)判斷即可得出．

解答 解：“理想函數(shù)”的兩個條件：①對于定義域上的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0，即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
②對于定義域上的任意x₁，x₂．當(dāng)x₁≠x₂時，恒有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，即函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減．
①②函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)，因此函數(shù)f（x）不是“理想函數(shù)”；
③f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，滿足f（-x）=-f（x），并且在R上是單調(diào)遞減，因此是“理想函數(shù)”；
④f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），x∈R，f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，令u（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}+x$在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，但是f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}u$在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，因此函數(shù)f（x）是“理想函數(shù)”．
綜上可得：可以稱為“理想函數(shù)”的有 2個．
故答案為：2．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、新定義函數(shù)“理想函數(shù)”、簡易邏輯的判定方法，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．