Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD ， AD∥BC ， AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD ， N為PC的中點．

（1）證明MN∥平面PAB；
（2）求四面體N－BCM的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知得AM＝ AD＝2，如圖，

取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝ BC＝2.又AD∥BC，故 ，所以四邊形AMNT為平行四邊形，

于是MN∥AT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB

（2）解：因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為 PA.

如圖，取BC的中點E，連接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝ ＝ .

由AM∥BC得M到BC的距離為 ，故S△BCM＝ ×4× ＝2 ，

所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝ ×S△BCM× ＝ .

【解析】1.本題考察直線與平面平行的判定及直線與平面平行的性質，由線線平行證線面平行。2.求四面體N－BCM的體積=底面積高，要想到“PA⊥平面ABCD”的作用，結合題目的已知即可解出。