Question

已知，設函數(shù)．
（Ⅰ）當，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）當時，若f（x）=8，求函數(shù)的值．

Answer 1

解：（I）∵=5sinxcosx+2cos²x，=sin²x+4cos²x
∴=5sinxcosx+2cos²x+sin²x+4cos²x+
=sin2x+3（1+cos2x）+（1-cos2x）+
=sin2x+cos2x+5=5sin（2x+）+5
∵，∴2x+∈[，]
因此，-≤sin（2x+）≤1，可得函數(shù)f（x）的值域是[，10]．…（6分）
（Ⅱ）由（I）得5sin（2x+）+5=8，得sin（2x+）=
∵，∴2x+∈[，]
∴，…（10分）
∴sin2x=sin[（2x+）-]=•-（-）•=
因此，=．…（12分）
分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式和模的公式代入，再用二倍角的正、余弦公式和輔助角公式化簡，得f（x）=5sin（2x+）+5，根據(jù)得2x+∈[，]，結合正弦函數(shù)的圖象與性質，可得函數(shù)f（x）的值域；
（II）根據(jù)f（x）=8，得sin（2x+）=，再利用配角公式算出sin2x的值，而=5sin2x+5，將sin2x代入即得的值．．
點評：本題以向量的數(shù)量積運算和模的計算為載體，考查了三角函數(shù)的降次公式、輔助角公式和三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．