Question

如圖，棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明直線BD所在的向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量垂直，即可得到直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而得到線面垂直．
（2）由題意求出兩個(gè)平面的法向量，求出兩個(gè)向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為二面角P-CD-B的平面角即可．
（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜線PC所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到點(diǎn)到平面的距離．
解答：解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因?yàn)锳P∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）得．
設(shè)平面PCD的法向量為，
則，
即，
∴，故平面PCD的法向量可取為
∵PA⊥平面ABCD，
∴為平面ABCD的法向量．
設(shè)二面角P-CD-B的大小為θ，依題意可得．
（3）由（Ⅰ）得，
設(shè)平面PBD的法向量為，
則，即，
∴x=y=z，故可取為．
∵，
∴C到面PBD的距離為
點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以便建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的基本運(yùn)算解決線面共線、空間角與空間距離等問(wèn)題．