Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線(xiàn).

（1）將曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的，2倍后得到曲線(xiàn)，試寫(xiě)出直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的參數(shù)方程；

（2）在曲線(xiàn)上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】（1） , : ；

（2） ,.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)伸縮變換的公式代入原方程,可以得到伸縮后的曲線(xiàn)方程；（2）利用點(diǎn)在橢圓上設(shè)出參數(shù)坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求三角函數(shù)的最值,并求出取得最值時(shí)的值.

試題解析：解：

（1）由題意知，直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：

∵曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為：

∴曲線(xiàn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：

，

∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，此時(shí).