【題目】如圖,矩形ABCD中,AD2AB4,EBC的中點,現(xiàn)將△BAE與△DCE折起,使得平面BAE及平面DEC都與平面ADE垂直.

1)求證:BC∥平面ADE;

2)求二面角ABEC的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)過點BBMAEM,過點CCNEDN,連接MN,證明BCMN即可;
2)以E為原點,EDx軸,EAy軸,建立空間直角坐標(biāo)系Exyz,求出平面CEB的法向量,平面AEB的法向量,計算即可.

1)過點BBMAE,垂足為M,過點CCNEDN,連接MN,如圖所示;

∵平面BAE⊥平面ADE,平面DCE⊥平面ADE,

BM⊥平面ADE,CNADE,
BMCN;
由題意知RtABERtDCE,
BMCN,
∴四邊形BCNM是平行四邊形,
BCMN;
BC平面ADEMN平面ADE,
BC∥平面ADE
2)由已知,AE、DE互相垂直,以E為原點,EDx軸,EAy軸,建立空間直角坐標(biāo)系Exyz,如圖所示;

E00,0),B0,),C,0),

設(shè)平面CEB的法向量為=(x,y,z),

,
y1,則z1,x1,
=(1,1,1);
設(shè)平面AEB的法向量為=(x,y,z),

,易求得=(1,0,0),
,

二面角ABEC的平面角的余弦值為

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(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在, 的蜜柚中抽取5個,再從這5個蜜柚中隨機(jī)抽取2個,求這2個蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率;

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該貧困村的蜜柚樹上大約還有5000個蜜柚等待出售,某電商提出兩種收購方案:

A.所有蜜柚均以40元/千克收購;

B.低于2250克的蜜柚以60元/個收購,高于或等于2250克的以80元/個收購.

請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.

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A.B.C.D.

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(1)在一次全民健身活動中,四個多功能運(yùn)動場的使用場數(shù)如圖,用分層抽樣的方法從甲、乙、丙、丁四場館的使用場數(shù)中依次抽取,,,共25場,在,,中隨機(jī)取兩數(shù),求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)設(shè)四個多功能運(yùn)動場一個月內(nèi)各場使用次數(shù)之和為,其相應(yīng)維修費用為元,根據(jù)統(tǒng)計,得到如下表的數(shù)據(jù):

10

15

20

25

30

35

40

2302

2708

2996

3219

3401

3555

3689

2.49

2.99

3.55

4.00

4.49

4.99

5.49

(i)用最小二乘法求之間的回歸直線方程;

(ii)叫做運(yùn)動場月惠值,根據(jù)(i)的結(jié)論,試估計這四個多功能運(yùn)動場月惠值最大時的值.

參考數(shù)據(jù)和公式:,,,,

.

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