Question

【題目】已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）判斷并用定義證明的單調(diào)性；

（Ⅲ）若，且成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；證明見(jiàn)解析；

（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）由題意，由奇函數(shù)的特征得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)，且，利用作差法用定義證明的單調(diào)性；

（Ⅲ）由可得的范圍，得函數(shù)的單調(diào)性，由利用奇偶性得，再根據(jù)單調(diào)性求實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（Ⅰ）由題意，

∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，

∴，即，

∴，即，

∴，又，∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

設(shè)，且，

則，

∵，∴，

∴，，∴，

∴當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；

綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

（Ⅲ）由得，

∴，由（Ⅱ）知，在上單調(diào)遞減，

由利用奇偶性得，

∴，解得，

綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是．