Question

已知等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S₆=28S₃，各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n且T₃=15．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和b₂；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n；
（3）在（2）的條件下證明

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由題意可求q，進(jìn)而得{a_n}的通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列的性質(zhì)易得b₂的值；
（2）由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，可求數(shù)列{b_n}的公差，即得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)為b_n=2n+1，可求和；（3）由（2）知

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，符合用裂項(xiàng)相消法求和，即得結(jié)論．

解答：解：（1）由已知得S6=S3+q3S3=28S3∴q3=27∴q=2∴an=3n-1
又{b_n}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以T₃=3b₂=15，∴b₂=5
（2）∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d
∴（3+5）²=（6-d）（14+d）
∴d=2，d=-10（舍去）
∴b_n=2n+1，b₁=3
∴Tn=

(3+2n+1)n

2

=n(n+2)
（3）由（2）知

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題為等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及裂項(xiàng)相消法，準(zhǔn)確利用公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．