正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A，B兩點的球面距離為π，則正三棱柱的體積為
 
．
分析：由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于半徑為2的球，若A，B兩點的球面距離為π，我們易求出∠AOB的大小，進而求出棱柱底面棱長，進而求出棱柱的高和底面面積，代入棱柱體積公式，即可求出答案．
解答：解：∵正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于半徑為2的球
又∵A，B兩點的球面距離為π，故∠AOB=90°，又∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB=2
2
，則△ABC的外接圓半徑為
2
6
3

則O點到平面ABC的距離為
2
3
3

∴正三棱柱高h=
4
3
3
，又∵△ABC的面積S=2
3

∴正三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S•h=8．
故答案為：8
點評：本題考查的知識點是棱柱的體積公式，球內(nèi)接多面體，其中根據(jù)已知條件計算出棱柱的底面面積和高是解答本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在 正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，底面邊長為
2

（1）設(shè)側(cè)棱長為1，求證A B1⊥B C1；
（2）設(shè)A B1與B C1成600角，求側(cè)棱長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA1上，AN=
1
4
．
（1）求BC1與側(cè)面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
C1E
=
1
3
EA1
，
C1F
=
1
4
FB1
，
C1H
=x
C1A1
+y
C1B1
，求x+y的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=數(shù)學(xué)公式=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：1996年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB==a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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