Question

設(shè)F₁、F₂是橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F₁為圓心，且過橢圓中心的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若直線F₂M與圓F₁相切，則該橢圓的離心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)知F₁M=c，MF₂=2a-c，F(xiàn)₁F₂=2c，由直線F₂M與圓F₁相切，知∠F₁MF₂=90°．所以c²+（2a-c）²=4c²，由此能求出該橢圓的離心率．
解答：解：由題設(shè)知F₁M=c，MF₂=2a-c，F(xiàn)₁F₂=2c，
∵直線F₂M與圓F₁相切，
∴∠F₁MF₂=90°．
∴c²+（2a-c）²=4c²，
整理得4a²-4ac=2c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=或e=-（舍）．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地利用橢圓性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．