Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$．
（1）求f（-1）的值；    
（2）求函數(shù)f（x）的值域A；
（3）設(shè)$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（a-1）x+a}（a＞-1）$的定義域為集合B，若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只需研究x≥0時，f（x）的取值范圍即為函數(shù)的值域，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出所求；
（2）根據(jù)偶次根式的被開方數(shù)大于等于0，以及A⊆B建立關(guān)系式，可求出a的取值范圍

解答 解：（1）∵x≥0時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，∴f（1）=（$\frac{1}{2}$）¹=$\frac{1}{2}$．
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-1）=f（1）=$\frac{1}{2}$；  
（2）由函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）的值域A即為x≥0時，f（x）的取值范圍，
當x≥0時，0＜（$\frac{1}{2}$）^x≤1，故函數(shù)f（x）的值域A=（0，1]；
（3）∵$g（x）=\sqrt{-{x^2}+（a-1）x+a}（a＞-1）$，
∴定義域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}，
由-x²+（a-1）x+a≥0得x²-（a-1）x-a≤0，
即 （x-a）（x+1）≤0，
∵A⊆B∴B=[-1，a]且a≥1，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式的解法，同時考查了計算能力，屬于中檔題．