Question

如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，∠A₁AC＝60°．

(Ⅰ)求側(cè)棱AA₁與平面AB₁C所成角的正弦值的大��；

(Ⅱ)已知點(diǎn)D滿足，在直線AA₁上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB₁C？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵側(cè)面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于點(diǎn)O， 　　∴A1O⊥平面ABC．又∠ABC＝∠A1AC＝60°，且各棱長都相等， 　　∴AO＝1，OA1＝OB＝，BO⊥AC． 　　故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則 　　A(0，－1，0)，B(，0，0)，A1(0，0，)，C(0，1，0)，； 　　∴．設(shè)平面AB1C的法向量為n＝(x，y，1) 　　則解得n＝(－1，0，1)． 　　由cos＜＞＝ 　　而側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角，即是向量與平面AB1C的法向量所成銳角的余角， 　　∴側(cè)棱AA1與平面AB1C所成角的正弦值的大小為 　　(Ⅱ)∵而　∴ 　　又∵B(，0，0)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(－，0，0)．假設(shè)存在點(diǎn)P符合題意， 　　則點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為P(0，y，z)．∴ 　　∵DP∥平面AB1C，n＝(－1，0，1)為平面AB1C的法向量， 　　∴由，得 　　又DP平面AB1C，故存在點(diǎn)P，使DP∥平面AB1C，其從標(biāo)為(0，0，)，即恰好為A1點(diǎn)