Question

【題目】設函數.

（1）若存在最大值，且，求實數的取值范圍；

（2）令，，求證：對任意的，總存在最小值，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）先確定函數定義域，再求導可得，分情況進行討論，根據函數的單調性，由存在最大值，且，解出實數的取值范圍；（2）將代入函數，對函數進行化簡整理，可得，求導，利用導數分析函數單調性，進而得證.

（1）由于的定義域為，，

當時，在上為單調函數，此時無最大值；

當時，由得，知在上單調遞增，在上單調遞減，故為的極大值點.

故，解得：.

綜上，當時，有最大值.

（2）當時，.

，由于，則，，

并且在上單調遞增，故存在唯一的，使得，

從而，當時，，即在上單調遞減；

當時，，即在上單調遞增.

故函數存在最小值，結合即，得

.

綜上得，對任意的，總存在最小值，且.