【題目】設函數(shù) ,若函數(shù) 在x=1處與直線 相切.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù) 在 上的最大值.
【答案】解:(I)f′(x)= -2bx , ∵函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=- 相切,
∴ 解得
(Ⅱ)由(1)知,f(x)=lnx- x2 , f′(x)= -x= ,
當 ≤x≤e時,令f′(x)>0,得 ≤x<1,
令f′(x)<0,得1<x≤e, ∴f(x)在[ ,1)上是增加的,
在(1,e]上是減少的, ∴f(x)max=f(1)=- .
【解析】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,切線方程以及導數(shù)展示單調(diào)性中的應用。(1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義,根據(jù)函數(shù)在x=1處于直線相切,列出方程組求解即可。(2)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)的不等式及性質(zhì),判斷函數(shù)的單調(diào)性,進而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。
【考點精析】關于本題考查的導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解通過圖像,我們可以看出當點趨近于時,直線與曲線相切.容易知道,割線的斜率是,當點趨近于時,函數(shù)在處的導數(shù)就是切線PT的斜率k,即;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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【題目】已知命題 :方程 表示焦點在 軸上的橢圓,命題 :雙曲線 的離心率 ,若命題 , 中有且只有一個為真命題,求實數(shù) 的取值范圍.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓Ω: 的離心率為 ,直線l:y=2上的點和橢圓Ω上的點的距離的最小值為1.
(Ⅰ) 求橢圓Ω的方程;
(Ⅱ) 已知橢圓Ω的上頂點為A,點B,C是Ω上的不同于A的兩點,且點B,C關于原點對稱,直線AB,AC分別交直線l于點E,F(xiàn).記直線AC與AB的斜率分別為k1 , k2
①求證:k1k2為定值;
②求△CEF的面積的最小值.
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【題目】已知以點為圓心的圓過點和,線段的垂直平分線交圓于點、,且,
(1)求直線的方程; (2)求圓的方程。
(3)設點在圓上,試探究使的面積為 8 的點共有幾個?證明你的結(jié)論
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【題目】(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數(shù)字,,,這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次,每次抽取張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,,不完全相同”的概率.
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【題目】如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB=BC,DB⊥AC,點M是棱BB1上一點.
(1)求證:B1D1∥平面A1BD;
(2)求證:MD⊥AC;
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【題目】已知 函數(shù) 在區(qū)間 上有1個零點; 函數(shù) 圖象與 軸交于不同的兩點.若“ ”是假命題,“ ”是真命題,求實數(shù) 的取值范圍.
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【題目】祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”,它是中國古代一個涉及幾何體體積問題,意思是兩個等高的幾何體,如在同高處的截面積恒相等,則體積相等,設A,B為兩個等高的幾何體,p:A,B的體積相等,q:A,B在同高處的截面積不恒相等,根據(jù)祖暅原理可知,q是-p的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐P—ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點.
(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.
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