Question

17．若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0對θ∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． m＜1-$\sqrt{2}$
• B． m＞1-$\sqrt{2}$
• C． 1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$
• D． 1-$\sqrt{2}$＜m≤1

Answer 1

分析 【三角函數(shù)法】構(gòu)造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，
將問題化為求f（θ）最大值的問題來解答．
【分離常數(shù)法】利用分離常數(shù)法求解也可以．

解答 解：【解法一】設(shè)f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0對任意的θ都成立，只需函數(shù)y=f（θ）的最大值小于零即可；
∵f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1，
∴當-1≤m≤1時，函數(shù)的最大值為m²-2m-1＜0，解得1-$\sqrt{2}$＜m≤1；
當m≥1時，函數(shù)的最大值為f（1）=-2＜0，
∴m≥1時均成立；
當m≤-1時，函數(shù)的最大值為f（-1）=-4m-2＜0，m＞-$\frac{1}{2}$，與題意矛盾，應(yīng)舍去；
綜上，m的取值范圍是m＞1-$\sqrt{2}$．
【解法二】不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0，
∴2m（1-sinθ）＞cos²θ-2，
當sinθ=1時cosθ=0，不等式恒成立；
當sinθ＜1，1-sinθ＞0，
不等式化為m＞$\frac{{cos}^{2}θ-2}{2（1-sinθ）}$對θ∈R恒成立，
設(shè)f（θ）=$\frac{{cos}^{2}θ-2}{2（1-sinθ）}$，
則f（θ）=$\frac{-1{-sin}^{2}θ}{2（1-sinθ）}$，sinθ≠1；
設(shè)t=sinθ，t≠1，
則g（t）=$\frac{-1{-t}^{2}}{2（1-t）}$=
$\frac{{-（1-t）}^{2}}{2（1-t）}$+$\frac{2（1-t）}{2（1-t）}$-$\frac{2}{2（1-t）}$
=-$\frac{1-t}{2}$+1-$\frac{1}{1-t}$
=-（$\frac{1-t}{2}$+$\frac{1}{1-t}$）+1≥1-2•$\sqrt{\frac{1-t}{2}•\frac{1}{1-t}}$=1-$\sqrt{2}$，
當且僅當t=1-$\sqrt{2}$時取“=”，
∴g（t）≥1-$\sqrt{2}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是m＞1-$\sqrt{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的最值問題，解題時應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題來解答，是中檔題目．