Question

選修4-5：不等式選講
已知實數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且有a+b+c=1，a²+b²+c²=1．求證：1＜a+b＜．

Answer 1

證明：因為a+b=1-c，ab==c²-c，所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個不等實根，
則△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，得-＜c＜1，…（4分）
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，即c²-（1-c）c+c²-c＞0，解得c＜0，或c＞，…（7分）
所以-＜c＜0，即1＜a+b＜． …（8分）
分析：由題意可得a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的兩個不等實根，由判別式大于0可得-＜c＜1．再由（c-a）（c-b）＞0，解得c＜0，或c＞，取交集得到-＜c＜0，從而得到1＜a+b＜．
點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．