Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點， 為坐標(biāo)原點，點在橢圓上，線段與軸的交點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）圓是以為直徑的圓，一直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點、，當(dāng)，且滿足時，求的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用平面向量共線得到是線段的中點，再利用三角形的中位線和待定系數(shù)法進行求解；（Ⅱ）先利用直線與圓相切得到，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，再利用平面向量的數(shù)量積和判別式為正、三角形的面積公式得到有關(guān)表達式，再利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解.

試題解析：（Ⅰ）因為，所以 是線段的中點，所以是的中位線，又所以,所以，又因為 ，

解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）因為直線與相切，所以，即

聯(lián)立得.

設(shè)

因為直線與橢圓交于不同的兩點、，

所以，

，

，又因為，所以

解得.

，

設(shè)，則單調(diào)遞增，

所以，即