Question

(本小題13分) 如圖所示, PQ為平面的交線, 已知二面角為直二面角,  , ∠BAP＝45°.

（1）證明: BC⊥PQ;

（2）設(shè)點(diǎn)C在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)O, 當(dāng)k取何值時(shí), O在平面ABC內(nèi)的射影G恰好為△ABC的重心？

（3）當(dāng)時(shí), 求二面角B－AC－P的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析

（2）k＝1

（3）

【解析】（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥PQ于點(diǎn)E, 由題知點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合, 連接EB.

     , 即點(diǎn)C在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)E,

所以.

又.

      , 故  BE⊥PQ, 又

, ,

      平面EBC, 故BC⊥PQ.

（2）由（1）知, O點(diǎn)即為E點(diǎn), 設(shè)點(diǎn)F是O在平面ABC內(nèi)的射影, 連  接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D, 由題意可知, 若F是△ABC的重心, 則點(diǎn)D為AC的中點(diǎn).

, 平面角為直二面角, , 由三垂線定理可知AC⊥BF, 即AC⊥BD, , 即k＝1；反之, 當(dāng)k＝1時(shí), 三棱錐O—ABC為正三棱錐, 此時(shí), 點(diǎn)O在平面ABC內(nèi)的射影恰好為△ABC的重心.

（3）由（2）知, 可以O為原點(diǎn), 以OB、OA、OC所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz(如圖所示) 

不妨設(shè), 在Rt△OAB中, ∠ABO＝∠BAO＝45°, 所以BO＝AO＝, 由CA＝CB＝kAB且得, AC＝2, , 則.

所以

設(shè)是平面ABC的一個(gè)法向量, 由得

取x=1, 得

易知是平面的一個(gè)法向量,

設(shè)二面角B－AC－P的平面角為, 所以, 由圖可知,

二面角B－AC－P的大小為.