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過拋物線y2=4x的頂點作射線OA，OB與拋物線交于A，B，若
OA
•
OB
=2，求證：直線AB過定點．
考點：拋物線的簡單性質
專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：設直線AB方程，代入拋物線方程y2=4x，得ky2-4y+4m=0，利用韋達定理，結合
OA
•
OB
=2，求出AB的方程，即可證明直線AB過定點．
解答： 解：設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），則
y=kx+m代入拋物線y2=4x，即：ky2-4y+4m=0--------------（2分）
y1+y2=
4
k
，y1y2=
4m
k
-------------------------------------------（3分）
∵
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=2，
∴m2+4km-2k2=0---------------------------------（7分）
∴m=（2±
6
）k，
直線AB的方程：y=k（x-2-
6
），或y=y=k（x-2+
6
），---------------（9分）
∴直線AB過定點M（2+
6
，0），或N（2-
6
，0）----------------------------（10分）
點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，證明直線AB必過定點時，要熟練掌握其中設而不求的解題思想．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如果一扇形的弧長為π，半徑等于2，則扇形所對圓心角為（　　）
A、π
B、2π
C、
π
2
D、
3π
2

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科目：高中數學 來源： 題型：

以下說法中，正確的個數是（　�。�
①平面α內有一條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
②平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
③平面α內有無數條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
④平面α內任意一條直線和平面β都無公共點，那么這兩個平面平行．
A、0個B、1個C、2個D、3個

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若橢圓離心率為
3
3
，焦距為2．
（1）求橢圓方程；
（2）求線段AB的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a≥0，若y=cos2x-asinx+b的最大值為0，最小值為-4，試求a與b的值，并求y的最大、最小值及相應的x值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
16
+
y2
9
=1，
（1）求該橢圓的長軸和短軸、頂點的坐標；
（2）若該橢圓焦點為F1、F2，直線L經過點F1且與橢圓相交于M，N兩點，則求△MNF2的周長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知：實數a、b、c滿足a+b+c=1，求證：a、b、c中至少有一個數不大于
1
3
．
（2）已知：實數a、b、c滿足a+b+c=2013，求證：a、b、c中至少有一個數不小于671．
（3）根據（1）（2）請猜想一般性的結論并證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=(4-|x|)
3
2
，求f（x）的定義域和值域，并判斷其奇偶性．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosx，-sinx），
b
=（sinx-3cosx，sinx-cosx），函數f（x）=
a
•
b
．
（1）若x=
π
3
，求f（x）的值；
（2）求函數f（x）的對稱中心和最大值，并求取得最大值時的x的集合．

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