Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c．已知a=3，B=

π

3

，S_△ABC=6

3

．
（ I ）求△ABC的周長；
（Ⅱ）求sin2A的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三角形的面積公式

1

2

acsinB=

1

2

×3×

3

2

c=6

3

，可求c，然后由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB可求b，即可
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可求sinA，結(jié)合三角形的大邊對(duì)大角可求A，，利用同角平分關(guān)系可求cosA，代入二倍角的正弦公式可求

解答：解：（Ⅰ）∵S△ABC=6

3

，
∴

1

2

acsinB=

1

2

×3×

3

2

c=6

3

，
∴c=8，（2分）
由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=32+82-2×3×8×

1

2

=49，
∴b=7，（5分）
∴△ABC的周長為a+b+c=3+8+7=18． （6分）
（Ⅱ）由正弦定理得，

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

a

b

sinB=

3

7

×

3

2

=

3 3

14

，（8分）
∵a＜b，
∴A＜B，故角A為銳角，（9分）
∴cosA=

1-sin2A

=

13

14

，（10分）
∴sin2A=2sinAcosA=2×

3 3

14

×

13

14

=

39 3

98

． （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角公式：三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理、同角平分關(guān)系等綜合應(yīng)用，解答本題還要注意大邊對(duì)大角的應(yīng)用，不要產(chǎn)生多解的情況．