Question

如圖，平面ABB₁A₁為圓柱OO₁的軸截面，點C為

AB

上的點，點M為BC中點．
（1）求證：B₁M∥平面O₁AC；
（2）若2r=AB=AA₁，∠CAB=30°，求三棱錐A到平面O₁BM的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)OB₁，OM，由已知條件推導(dǎo)出四邊形AOB₁O₁為平行四邊形，從而得到平面OMB₁∥平面O₁AC，由此能夠證明B₁M∥平面O₁AC．
（2）利用等體積法，求點P到平面O₁BM的距離d．

解答： （1）證明：連結(jié)OB₁，OM，∵O₁B₁∥AB，且O₁B₁=OA
∴四邊形AOB₁O₁為平行四邊形，∴OB₁∥AO₁，
∴平面OMB₁∥平面O₁AC，
又∵B₁A?平面OMB₁，
∴B₁M∥平面O₁AC．
（2）利用等體積法，求點P到平面O₁BM的距離d．
∵2r=AB，∠CAB=30°，∴BC=r，AC=

3

r．
∵△ABC邊AB上的高為

3

2

r，
∴設(shè)N在AB上，且MN⊥AB，
∴MN=

3 r

4

，MN是三棱錐M-O₁BA的高，
∵BC⊥AC，∴BC⊥平面A₁AC，
∵AC∥OM，AA₁∥OO₁，且OM∩OO₁=O，
∴平面A₁AC∥平面O₁OM，即BM⊥平面O₁OM，
∴BM⊥O₁M，
∴S△O1BM=

1

2

BM•O1M=

r2

8

19

，S△O1BA=

1

2

AB•O1O=2r²
∵VA-O1BM=VM-O1BA，
∴d•

r2

8

19

=

3 r

4

•2r²，
∴d=

4 57

19

r，
∴三棱錐A到平面O₁BM的距離為

4 57

19

r．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐A到平面O₁BM的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．