Question

如圖，ADB為半圓，AB為直徑，O為圓心，，Q為AB為的中點(diǎn)，|AB|=4，某曲線C過(guò)點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上，且|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以AB和OD所在的直線為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，由題中的條件得：PA|+|PB|=，曲線C是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，待定系數(shù)法求橢圓的方程．
（2）設(shè)直線y=kx+2，代入曲線方程，由判別式大于0得k²的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出點(diǎn)O到直線MN的距離，用弦長(zhǎng)公式求得MN的長(zhǎng)度，代入三角形面積公式，再利用基本不等式求出面積的最大值．
解答：解：（1）以AB和OD所在的直線為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，
建立直角坐標(biāo)系，∵|AB|=4，∴A（-2，0），B（2，0），D（0，2）．
∴|PA|+|PB|=，
∴曲線C是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)，2c=4，∴曲線C的方程為．

（2）設(shè)直線y=kx+2，代入曲線方程得（1+5k²）+20kx+15=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則△=（20k）²-4（1+5k²）•15＞0，∴．
∵，
點(diǎn)O到直線MN的距離，又=，
∴==．
設(shè)，
∵，
∴，
∴≤=，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)，
∴S_△OMN的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式及基本不等式的應(yīng)用．