Question

已知函數(shù)R
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，求a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，可得不等式，分離參數(shù)，求最值，即可求a的最小值；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，即可求a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=lnx+1-ax．
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減當(dāng)且僅當(dāng)f′（x）≤0，即?x∈（0，+∞），a≥．①
設(shè)g（x）=，則g′（x）=-．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
所以g（x）≤g（1）=1，故a的最小值為1．…（5分）
（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)．
②當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）單調(diào)遞增，f′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，f（x）不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)．…（7分）
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)h（x）=lnx+1-ax，則h′（x）=-a．
當(dāng)x∈（0，）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．…（9分）
因?yàn)閒′（）=h（）=ln＞0，f′（）=h（）=-＜0，
所以f（x）在區(qū)間（，）有一極小值點(diǎn)x₁．…（10分）
由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x-1，則ln≤-1，
故f′（）=h（）=ln2+2ln+1-≤ln2+2（-1）+1-=ln2-1＜0．
所以f（x）在區(qū)間（，）有一極大值點(diǎn)x₂．
綜上所述，a的取值范圍是（0，1）．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的難度．