Question

（2012•石家莊一模）三棱錐的三組相對的棱（相對的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱）分別相等，且長各為

2

、m、n，其中m²+n²=6，則該三棱錐體積的最大值為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  8 3

  27

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：三棱錐擴(kuò)展為長方體，三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為長方體的體積與四個(gè)三棱錐的體積的差，推出B不正確，則C不正確，通過特殊圖形說明D正確．

解答：解：如圖設(shè)長方體的三度為，a，b，c；所以
所求三棱錐的體積為：abc-4×

1

3

×

1

2

abc=

1

3

abc．
a²+b²=2，b²+c²=n²，a²+c²=m²，
所以2（a²+b²+c²）=n²+m²+2=8．
a²+b²+c²=4．
因?yàn)?≥3

3	(abc)2

，abc≤

( 4 3 )3

=

8 3

9

此時(shí)a=b=c，與n²+m²=6，a²+b²=2，矛盾，所以選項(xiàng)B不正確；
則C不正確；
當(dāng)?shù)酌嫒�角形是等腰三角形時(shí)，m=n=

3

，
不難求出三棱錐體積的最大值為：

2

3

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查幾何體的體積的求法，擴(kuò)展為長方體是解題的關(guān)鍵，考查基本不等式的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．