Question

某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C(x)=

1

3

x2+10x（萬(wàn)元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C(x)=51x+

10000

x

-1450（萬(wàn)元）．每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元．通過市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤(rùn)L（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為C(x)=

1

3

x2+10x（萬(wàn)元），根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為C(x)=51x+

10000

x

-1450，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；
（2）根據(jù)年利潤(rùn)的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．

解答：解：（1）∵每件商品售價(jià)為0.05萬(wàn)元，
∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬(wàn)元，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入-成本，
∴L(x)=(0.05×1000x)-

1

3

x2-10x-250=-

1

3

x2+40x-250；
②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤(rùn)=銷售收入-成本，
∴L(x)=(0.05×1000x)-51x-

10000

x

+1450-250=1200-(x+

10000

x

)．
綜合①②可得，L(x)=

- 1 3 x2+40x-250(0＜x＜80) 1200-(x+ 10000 x )(x≥80).

．
（2）由（1）可知，L(x)=

- 1 3 x2+40x-250(0＜x＜80) 1200-(x+ 10000 x )(x≥80).

，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L(x)=-

1

3

x2+40x-250=-

1

3

(x-60)2+950，
∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬(wàn)元；
②當(dāng)x≥80時(shí)，L(x)=1200-(x+

10000

x

)≤1200-2

x• 10000 x

=1200-200=1000，
當(dāng)且僅當(dāng)x=

10000

x

，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬(wàn)元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1000萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題建立的數(shù)學(xué)模型為分段函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解．屬于中檔題．